La plus emblématique et la plus simple est le cercle.
Le cercle est un élément de l'univers lié aux astres et planètes, ronds ou à peu près du fait de leur rotation, que l'on peut découvrir lorsqu'une pierre tombe dans l'eau, lors d'un arc- en-ciel, ou plus prosaîquement avec un tronc d'arbre, à l'origine du rondin ! un rondin qui a permis le déplacement progressif de lourdes charges. Un truc tout bête qui portait en lui une révolution, (c'est le bon mot..), la roue ! et tout ce qui tourne, l'axe, l'engrenage, le moulin, le moteur.
Les quelques courbes suivantes font également partie de notre environnement quotidien.

L'ellipse.

C'est la courbe que suivent toutes les planètes et étoiles dans leur course autour d'une autre plus grosse qu'elles ; cas de la terre autour du soleil, de la lune et de tout satellite autour de la terre. Pourquoi pas un cercle ? bonne question.

Rien ne peut "tourner rond" en parfait équilibre autour de quelque chose d'autre dans notre monde, tout au moins sans ficelle ferment tenue.. car en fait, tout est lancé ou l'a été, et donc ne fait que retomber ! (surprise, surprise..)
Un satellite est lancé en biais avec une vitesse inférieure à celle de "libération" de l'attraction terrestre; celle-ci "le reprend" donc comme avec un élastique pour le faire chuter ; cependant, son importante énergie (vitesse..) le fait résister, et il revient en sens inverse, allant trop loin si l'on peut dire, "avant que l'élastique ne tire suffisamment dessus", ce qui lui fait parcourrir une ellipse, puis d'autres ellipses de plus en plus petites.
Question subsidiaire. Et les électrons de l'atome qui tournent autour du noyau ? ça fait frémir..

Une ellipse peut être dessinée en plantant deux punaises ou pointes en deux points espacés (appelés foyers) et en attachant sur chacune le bout d'un fil fin. Ce fil sera naturellement plus long que l'espace entre les pointes. On tend ensuite le fil avec un crayon que l'on fait glisser tout le long du fil (on on ne peut tracer d'un coup que la moitié de la parabole). La forme et la taille de l'ellipse dépendra donc de l'espacement entre les pointes et de la longueur du fil, ce que résume une formule mathématique (l'addition des deux distances vers les deux pointes est constante.

La parabole.
Généralement tracée à l'envers et moins large, j'ai retenu cette disposition qui représente la courbe que décrit toute pierre lancée en l'air en direction d'une cible, sauf à la verticale.. (précision humoristique, mais utile). La balle de fusil décrit une telle courbe et il faut régler le viseur (la hausse) en fonction de la distance. Si le trajet est très court, on ne la voit pas et on croit, bien à tort, que c'est une ligne droite. En fait c'est impossible car la pesanteur tire immanquablement la pierre ou la balle vers le bas ; elle montent donc par la force du lancer, puis retombent de plus en plus verticalement.
Il est difficile de tracer une parabole avec un fil car il faut que ce fil soit fixé à une pointe (le foyer) mais coulisse à l'autre extrémité le long d'une ligne droite. Une formule mathématique la résume car en tout point d'une parabole, les distances entre le foyer (la pointe) et une droite appelée directrice, restent égales.

Hormis le tir, la parabole a une propriété étonnante que chacun connaît ! elle permet à la lampe de poche, au phare de voiture, à l'antenne TV satellite, de renvoyer leurs rayonnements en un faisceau parallèle.
Inversement, la parabole concentre les rayons reçus, supposés parallèles, en un point appelé "foyer" , un nom bien choisi quand on pense aux fours solaires ! Pratiquement, les antennes paraboliques on toutes une sorte de bras avancé en leur milieu ; le foyer est au bout ce ce bras et c'est là qu'on émet ou reçoit les ondes (lumineuses, radio, sonores..). On ne le sait pas, mais une personne peut être écoutée de très loin avec un tel dispositif amplifié, l'axe de la parabole étant dirigé vers elle.

La chaînette.
C'est la courbe que fait tout fil tendu entre deux points sous l'effet de la pesanteur ; collier, fil à linge ou ligne électrique, rien n'y échappe. La longue courbe pendante que fait le câble entre deux pylônes, qu'il soit électrique ou sustentateur (téléphérique, ponts) ne peut pas être réduite en tendant plus, car son poids au mètre, qui peut être très important, l'en empêche.
Malgré les apparence; il est très tendu et la glace ou la neige peuvent conduire à sa rupture. On ne peut tendre "en ligne droite" et en apparence seulement, qu'un fil solide et léger sur une courte distance. C'est ce que pratiquent les maçons pour tracer une ligne horizontale sur un mur : on enduit le fil de poudre colorée, on le tend bien à deux et on "le claque" sur le mur pour qu'il y dépose sa couleur.

La courbe de la chaînette est dite aussi "funiculaire" et "cosinus hyperbolique" Une simplification est proposée sur un site, composer la chaînette de deux demi-paraboles. Arche et chaînette. La Sagrada Familia (Barcelone) https://triz-experience.blogspot.fr/2012/12/ Le génie de Gaudi a été de faire le lien entre une arche et ce fil pendant entre deux appuis. Gaudi utilisa des maquettes suspendues au plafond. Chaque élément architectural était représenté par un fil auquel il accrochait un lest représentant sa masse. Il a pu approcher ainsi la géométrie à l'aide de cette maquette, et travailler ensuite a partir de croquis ou photographies.  D'autres structures sont aussi bâties selon ce principe. On peut par exemple citer la gateway arch, St Louis, Misissipi (photo ci-contre, 192 m de largeur et hauteur, se visite, vue au sommet, desservi par "tramways" pendulaires couplés et asenseur, plus escalier).

La sinusoïde. c'est une courbe ondulatoire. La courbe sinusoïdale a été évoquée au début avec les marées et le courant électrique. QUESTION ? Le serpant suit-il une sinusoïde en se déplaçant ? à priori non.
Cette courbe représente également toutes sortes de vibrations, visibles (propagation des vagues) ou invisibles (son, lumière et rayonnements en général) toutes ont cette caractéristique d'accélération, pleine vitesse, ralentissemnt, passage à vitesse nulle pour un changement de sens.
Une autre caractéristique est qu'elle représente la vibration d'un point de ce qui vibre dans le temps, sans qu'il y ait déplacement de l'ensemble de la matière.
une chose étonnante que d'emblée, on réfute. Exemple, les vagues avancent mais un point de l'eau en mouvement ne fait que s'élever et descendre sans avancer ! la bizarrrerie est qu'il communique ce mouvement aux points d'à côté, soit aux molécules d'eau voisines.
J'ai trouvé sur le Net une remarquable simulation que je reproduis ici en remerciant son auteur.

Cette faculté ouvre un débat passionné sur "l'ondulatoire", dont pour la lumière et autres ondes assimilées : qu'est-ce qui ondule ? y a t-il des particules ou non (matière). Pendant que certains affirment qu'il n'y a pas de matière mais seulement deux ondres associées - électriques et magnétiques - dans le vide absolu, d'autre réfutent en pesant la lumière reçue chaque année sur la planète, pendant que les derniers jurent que ce n'est pas contraditoire, le poids étant également une onde..

Les courbes tordues. Elles ne respectent pas tout à fait la trajectoire du tir initial.

Particularités de la balle de golf et de fusil. Quand on applique une force de propulsion, un lancer, un coup de pied, le projectile doit partir dans le sens de la force en ligne droite (parabole en réalité dans le plan verical), sauf influence d'un bon vent latéral.

Comment diable peut-on faire pour que la balle, comme animée d'une force intérieure, dévie vers la gauche ou la droite puis revienne vers sa trajectoire directe, décrivant ainsi une courbe ?  réponse : en lui donnant de l'effet !

L'effet consiste à frapper la balle, non pas plein centre dans l'axe de la trajectoire, mais en "brossan", en frappant en biais, ou à l'écart de l'axe, etc. Cela afin de lui communiquer une rotation. Partant en tournant sur elle-même, les forces de freinage par l'air deviennent inégales de part et d'autre de la balle et celle-ci dévie progressivement d'un côté, puis revient en talentissant, le déséquilibre diminuant, d'où l'allure tordue de la trajectoire. C'est un art, car la balle doit atteindre la cible.

Au billard, frapper un peu de haut en bas au niveau de l'axe, est dit faire un "rétro". La boule part en glissant sous l'effet du choc mais tourne à l'envers ! elle est donc finalement freinée et peu même revenir en arrière. Un effet semblable peut être appliqué à une balle de tennis, lors d'un amorti, car la balle ne rebondit pas vers l'adversaire, mais est stoppée ou très ralentie dès qu'elle touche le sol, de préférence au pied du filet. Au jeu de boules, avec le même effet, on fait un "pavé" : on communique une rotation "arrière" au lancer et la boule s'arrête net au sol, ou presque (un pavé ne roulr pas !)

C'est peut-être au tennis et au foot que l'on voit les coups les plus exravagants, fabuleux mêmes, sortis d'on ne sait où.

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Les poils de la balle de tennis devraient renforcer la dissimétrie en rotation. Les facettes de la balle de golf sont faites pour réduire les turbulences de l'air autour de la balle, augmentant ainsi vitesse et donc portée. Un problème qui concerne tout ce qui se déplace dans un fluide, air ou eau. Les poissons, requins, oiseaux etc ont chacun leur solution, les avionneurs aussi pour l'aile d'avion en copiant les poissons, requins et oiseaux (adieu l'aile parfaitement lisse au profil effilé).
Le canon du fusil de guerre possède de fines nervures en sprirale qui communiquent une forte rotation à la balle selon son axe de tir. Elle acquiert ainsi un effet giroscopique qui améliore sa pécision (plus difficile à dévier).

A propos de trajectoire tordue, il existe des boules de jeux anciens, mais encore pratiqués de nos jours, notamment par les anglais (j'y ai joué dans une île du Pacifique), qui ont un côté aplati et un balourd à l'intérieur : les boules partent à peu près droit mais s'inclinent progressivement avec leur ralentissement, décrivant ainsi à la fin une courbe de plus en plus serrée. Approcher ainsi le bouchon n'est pas très aisé.

Une courbe qui fait des bonds ! c'est la cycloïde.
Elle appartient plus au cycle qu'au vélo. En fait elle est produite par un point d'une roue qui tourne en roulant sur un plan (une route). Si le point est à la surface extérieure du pneu, cela tracera des bonds successifs. Compte tenu de ses propriétés, elle devrait être utilisée dans les manèges de type "Grand huit", pour accélérer la descente car c'est la courbe qui procure à un objet roulant la plus belle et longue accélération entre deux points pour arriver en premier à son extrémité, garantissant dès le départ une belle émotion.

La courbe du chien. Elle est ainsi dénommée en référence à quatre chiens qui se poursuivraient en partant chacun du coin d'un carré, mais c'est purement imaginatif, les humains feraient de même !
A chaque instant, la course de l'un des chiens est perpendiculaire à celle du chien poursuivi parce que c'est le plus court chemin pour l'atteindre. Comme les chiens se courent tous après, la direction de chaque chien change sans arrêt, chaque chien décrit une sorte de spirale.

Cette courbe n'est intéressante que pour souligner notre aptitude (comme les chiens considérés), à corriger automatiquement notre trajectoire afin de maintenir la distance minimum vers un objectif fuyant "de travers", car elle correspond à l'effort minimum pour le rejoindre. La recherche de l'effort minimum est innée et implacable. D'où les pelouses foulées alors qu'un sentier serpente à côté, les clôtures renversées, les colères d'avoir à faire un grand détour là ou l'on passait tout droit (autoroutes, propriétés), des conflits qui vont jusqu'à blessures ou mort d'homme si le passage était vital (vu en Nouvelle Calédonie).